π würfeln

Matt Parker berechnet in seinem Video "Generating π from 1,000 random numbers" aus 500 Würfen von je zwei 120-seitigen Würfeln die Halbkreiszahl π. Die verwendete Methode ließe sich durch Würfel mit mehr Seiten weiter verbessern; doch wird schnell klar, dass der Erwartungswert von π für einen n-seitigen Würfel nicht kontinuierlich ansteigt.

Die Erwartungswerte bei n-seitigen Würfeln (nur verbesserte Resultate):

π(2)2,8284271247461903
π(4)2,9541957835039856
π(6)3,064523510731495
π(10)3,0860669992418384
π(16)3,1081147595432452
π(22)3,1164682866892455
π(28)3,1207579904219758
π(36)3,135377837610084
π(66)3,137525744374087
π(96)3,1392559341909156
π(100)3,139597498005517
π(126)3,1397146580732205
π(156)3,140267795294424
π(190)3,1412468874084714
π(330)3,141409056719501
π(540)3,141491137593482
π(820)3,1416663725107576
π(876)3,1415443959953557
π(1086)3,141565908754188
π(1422)3,141593504394165
π(10596)3,1415926460623878

Die Erwartungswerte ausgewählter n-seitiger Würfel:

π(2)2,8284271247461903Eine Münze
π(6)3,064523510731495Ein Würfel
π(36)3,135377837610084Zwei Würfel
π(120)3,1385735881578176Ein D120-Würfel
π(7776)3,141474554087546Fünf Würfel

Matt erwähnt in seinem Video, dass es bei einem Experiment wie diesem wichtig sei die Stichprobengröße im Voraus bekannt zu geben. Leider hat er eine denkbar ungeeignete Wahl getroffen: Ein bemerkenswertes Ergebnis wäre, π auf zwei Nachkommastellen genau zu erwürfeln. Hierzu wird ein Verhältnis der teilerfremden zu allen Würfen benötigt, welches π(n) größer gleich 3,135 und echt kleiner 3,145 ergibt.

Dies ergibt eine kleinste mögliche Stichprobe von 23 Würfen und würde bei 16,8% der Experimente das gewünschte Ergebnis liefern. Bei einer Stichprobe von 500 Würfen wird das gewünschte Ergebnis lediglich noch in 7,3% der Experimente eintreten. In den mit Würfeln verbrachten zwei Stunden wären 21 Experimente statt einem einzigen möglich gewesen; diese 97,9%-Chance π auf zwei Nachkomastellen genau zu erwürfeln hat er wohl nicht wahrnehmen wollen.

Der Fairness halber sei angemerkt: Die im Video erwürfelte Näherung mit einem Fehler von 2,8% erreicht man mit den D120 in 500 Würfen zu 88,1%. Zu 44,8% wäre der Fehler unter 1% geblieben.